Question

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

(1)如图，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP＝OQ；

(2)如图，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD＝4，∠DCB＝60°，BS＝10，求AS和OR的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC． 　　∴∠OBP＝∠ODQ 　　∵O是是的中点， 　　∴OB＝OD 　　在△BOP和△DOQ中， 　　∵∠OBP＝∠ODQ，OB＝OD，∠BOP＝∠DOQ 　　∴△BOP≌△DOQ(ASA) 　　∴OP＝OQ． 　　(2)解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T． 　　∵ABCD是菱形，∠DCB＝60° 　　∴AB＝AD＝4，∠ABT＝60° 　　∴AT＝ABsin60°＝ 　　TB＝ABcos60°＝2 　　∵BS＝10，∴TS＝TB+BS＝12， 　　∴AS＝． 　　∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB． 　　∴， 　　则，∴ 　　∵AS＝，∴． 　　同理可得△ARD∽△SRC． 　　∴， 　　则，∴， 　　∴． 　　∴OR＝OS-RS＝．