Question

提出问题

如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？

猜想结论

经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．

证明猜想

（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S_△AEG=S_△ABC．

结论应用

（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m²、5m²和4m²．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

 

Answer 1

（1）证明：①如图（1），当∠BAC＝90°时，

△EAG≌△BAC（SAS），∴S_△AEG=S_△ABC．   ………………2分      

②如图（2），当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB，垂足为M，

过G作GN⊥AE，与AE的延长线交于点N．

∵∠GAN +∠NAC =∠GAC =90°，∠MAC +∠NAC =∠MAN = 90°，

∴∠GAN =∠MAC，又AC =AG，∠AMC =∠ANG =90°．

∴△AMC≌△ANG，∴GN = CM．

又S_△AEG＝AE·GN，S_△ABC＝AB·CM，    

∴S_△AEG = S_△ABC．           ………………5分

③如图（3），当∠BAC＞90°时，

如图中辅助线，仿照⑵，同理可证．         

综合以上结论可知，命题成立．………………7分

（2）解：∵正方形ABCD、CIHG、GFED的面积分别为9m²、5m²和4m²，

        ∴DC²＝9m²，CG²＝5m²，DG²＝4m²．

        ∵DC²＝CG²＋DG²，∴三角形DCG是直角三角形，∠DGC＝90°．

        ∴S_△DCG＝·DG·CG＝´2´＝m．

        ∵四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，

根据上面结论可得：△ADE、△FGH△、△CBI均与△DCG的面积相等，

        ∴六边形ABIHFE的面积为9＋5＋4＋4´＝(18＋4) m². ……………10