Question

如图，在Rt△ABC中，AB是斜边，点P在中线CD上，AC=3cm，BC=4cm，设P、C的距离为xcm，△APB的面积为ycm²，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：根据勾股定理求出AB的长，然后过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，求证△ACB∽△AMC，利用其对应边成比例求得CM的长，再利用CM∥BH，求出PH，代入即可．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵AD=BD，∴CD=

1

2

AB=

5

2

，
∵PC的长为x，∴PD=

5

2

-x，
过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，
∵△ACB∽△AMC
∴

AB

AC

=

BC

CM

，∴CM=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，
∴

PH

CM

=

PD

CD

，∴PH=

CM•PD

CD

=

12 5 ×( 5 2 -x)

5 2

=

12

5

-

24

25

x．
S_△APB=y=

1

2

AB•BH=

1

2

×5×（

12

5

-

24

25

x），
∴y=-

12

5

x+6，
∴0＜x＜

5

2

．
答：y与x的函数关系式是y=-

12

5

x+6，
自变量x的取值范围为0＜x＜

5

2

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、根据实际问题列一次函数关系式、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性强，难度大，属于难题．解答此题的关键是过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，求证△ACB∽△AMC．