题目内容

如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=24cm，AB=25cm．若 $数学公式$ 的长为底面周长的 $数学公式$ ，如图2所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）

解：（1）如图：连接OA，OD，过O作OE⊥AD，垂足为E，
∵ $\text{[math]}$ 由已知的长= $\text{[math]}$ 圆周长，
∴扇形OAmD的圆心角为360°× $\text{[math]}$ =240°．
∠AOD=360°-240°=120°．
∵OE⊥AD，
∴∠AOE= $\text{[math]}$ 120°=60°，AE= $\text{[math]}$ AD．
∵AD=24cm，
∴AE=12cm．
在Rt△AOE中，sin∠AOE= $\text{[math]}$ ，
∴AO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （cm）．
即⊙O的半径为 $\text{[math]}$ cm．

（2）设圆柱的表面积为S，则S=2S圆+S侧，
2S圆=2π×（8 $\text{[math]}$ ）²=384π（cm²），
S侧=2π×8 $\text{[math]}$ ×25=400 $\text{[math]}$ π（cm²），
∴S=（384+400 $\text{[math]}$ ）πcm²
答：木块的表面积为（384+400 $\text{[math]}$ ）πcm²．
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ 的长为底面周长的 $\text{[math]}$ ，可将扇形的圆心角求出，再根据弦AD的长可将⊙O的半径求出；
（2）圆柱形木块的表面积S=2S圆+S侧，将上下两个圆的面积和侧面的面积求出，相加即可．
点评：本题要求掌握圆柱的有关性质和表面积的求法．