Question

【题目】如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1)根据点为的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用即可证得结论；

(2)解法一：连接，设的半径为，由列出关于的方程就能求解；

解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明，得，再证明，得，进而可得和的长，易证，列比例式可求得的长，也就是的长；

解法三：连接，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得，再证明，然后利用勾股定理即可求出结果．

证明：(1)∵是的中点，∴，

∵是的直径，且，∴，

∴，∴，

在和中，

∵，

∴；

(2)解法一：如图，连接，设的半径为，

中，，即，

中，，即，

∵，∴，∴，

∴，

即，

解得：(舍)或3，

∴，

∴；

解法二：如图，过作交AD延长线于点，连接、，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，∴，∴，

∵是的直径，∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴，

∴．

解法三：如图，连接，交于，

∵是的中点，∴，∴，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∴．