Question

（1）如图（1），BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D．请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∠BDC=90°+∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=ACB，
∵∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-（180°-∠A），
即∠BDC=90°+∠A；

（2））∠BDC=90°-∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=∠EBC，∠DCB=FCB，
∴∠DBC=（180°-∠ABC），∠DCB=（180°-∠ACB），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（360°-∠ABC-∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-（360°-180°+∠A），
即∠BDC=90°-∠A；

（3）∠BDC=∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A．
分析：（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=ACB，再根据三角形内角和定理得∠D=180°-（∠ABC+∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入即可得到∠BDC=90°+∠A；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠DCB=FCB，利用邻补角的定义有∠DBC=（180°-∠ABC），∠DCB=（180°-∠ACB），则∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-（360°-∠ABC-∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入整理得到∠BDC=90°-∠A；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=ACE，根据三角形外角性质得∠DCE=∠DBC+∠D，所以∠D=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．