Question

6、编号为1、2、3、4、…、2007的2007只彩灯均亮着，每只灯各有一个开关控制．若第一次按一下所有编号是2的倍数的灯泡开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡开关，第三次按一下编号为5的倍数的灯泡开关，则最后还亮着的灯有（　　）

A、1004只

B、535只

C、469只

D、601

Answer 1

分析：由于有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，那么编号为2的倍数的灯有[（2007-1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有（2007÷3）只，编号为5的倍数的灯的有[（2007-2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．

解答：解：∵有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，
∴编号为2的倍数的灯有 （2007-1）÷2=1003只，
编号为3的倍数的灯有 2007÷3=669只，
编号为5的倍数的灯的有（2007-2）÷5=401只，
其中既是3的倍数也是5的的倍数有（2007-12）÷15=133，
既是2的倍数也是3的的倍数有（2007-3）÷6=334，
既是2的倍数也是5的的倍数有（2007-7）÷10=200，
既是2的倍数也是5的的倍数，还是3的倍数有（2007-27）÷30=66，
根据容斥关系1003-334-200=469，669-334-133=202，401-200-133=68，
所以亮的就是2007-469-202-68-4×66=1004只．
故选A．

点评：此题主要考查了整数的整除性问题，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．