Question

（2006•厦门模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，2），C（4，3），D（2，6），E（3，5）且以点D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，那么点F的坐标为

F₁（2，8），F₂（0，6），F₃（5，5），F₄（3，3）

．

Answer 1

分析：设点F的坐标是（x，y）．
分类讨论：①△FDE≌△ABC，利用两点间的距离公式列出关于x、y的二元一次方程组，通过解方程组即可求得点F的坐标；
②当△FED≌△ABC时，利用两点间的距离公式列出关于x、y的二元一次方程组，通过解方程组即可求得点F的坐标．

解答：解：设点F的坐标是（x，y）．
∵A（1，2），B（3，2），C（4，3），D（2，6），E（3，5），
∴AB=2，BC=

2

，AC=

10

，DE=

2

；
①当△FDE≌△ABC时，FE=AC=

10

，DF=BA=2，则

(x-2)2+(y-6)2=4 (x-3)2+(y-5)2=10

，
解得，

x=2 y=8

或

x=0 y=6

；
∴F₁（2，8），F₂（0，6）；
②当△FED≌△ABC时，FE=AB=2，FD=AC=

10

，则

(x-3)2+(y-5)2=4 (x-2)2+(y-6)2=10

，
解得，

x=5 y=5

或

x=3 y=3

，
∴F₃（5，5），F₄（3，3）；
综上所述，点F的坐标是：F₁（2，8），F₂（0，6），F₃（5，5），F₄（3，3）．
故答案是：F₁（2，8），F₂（0，6），F₃（5，5），F₄（3，3）．

点评：本题考查了全等三角形的性质、坐标与图形性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．