Question

如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分ABCD的面积，已知A（4，2），则k=________．

Answer 1

1
分析：首先过A作AE⊥BC于E，连接OA、DE交于点P，由四边形ABCD是等腰梯形，易证得Rt△COD≌Rt△BEA，即可得S_△COD=S_△BEA，又易证得四边形ADOE是矩形，由P为矩形ADOE的对称中心，则过P点的直线平分矩形ADOE的面积，可得一次函数y=kx-1的图象经过点P，又由A（4，2），可求得点P的坐标，继而求得答案．
解答：解：过A作AE⊥BC于E，连接OA、DE交于点P，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB，
∵∠COD=∠AEB=90°，
∴△COD和△BEA是直角三角形，
在Rt△COD和Rt△BEA中，
∵，
∴Rt△COD≌Rt△BEA（HL），
∴S_△COD=S_△BEA，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴四边形ADOE是矩形，
∴P为矩形ADOE的对称中心，则过P点的直线平分矩形ADOE的面积，
∵直线y=kx-1平分ABCD的面积，
∴一次函数y=kx-1的图象经过点P，
∵点A（4，2），O（0，0），
∴P点坐标为（2，1），
代入得：2k-1=1，
解得：k=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了一次函数的性质、等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．