Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。
又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。
∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。
（2）解：当∠ACB=90°时，
由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。
∴△ADO∽△ABC。∴。
又∵BC=6，∴OD=3。
又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。
∴，解得AO=4
∴。

解析