Question

如图（1），A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L₁、L₂是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．

（1）天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
（2）根据图（1）中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长．（单位：米）

Answer 1

解：（1）作法：①将点A竖直向下平移到点A′，使AA′=20，
②连接A′B，与l₂交于点P，
③过点P作PQ⊥l₁于Q，
④连接AQ、BP．
则天桥建在PQ处能使由A经过天桥走到B的路程最短，如图；

（2）∵AA′∥PQ，AA′=PQ，
∴四边形AA′PQ是平行四边形，
∴AQ=A′P，
∴AQ+PB=A′P+PB=A′B．
过B作AA′的垂线，垂足为C．如图．
在△A′BC中，∠C=90°，BC=60，A′C=AC-AA′=15+20+10-20=25，
则A′B==65，
AQ+PQ+PB=A′B+PQ=65+20=85．
故由A经过天桥走到B的最短路线的长85米．
分析：（1）设天桥为PQ，则由A经过天桥走到B的最短路程为AQ+PQ+PB，由于PQ是定值，因此只需要考虑使AQ+PB最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移AQ到A′P，此时连接A′B交l₂于P，得桥址；
（2）过B作AA′的垂线，垂足为C，则在△A′BC中，运用勾股定理求出A′B的长，则由A经过天桥走到B的最短路线的长：AQ+PQ+PB=A′B+PQ．
点评：本题主要考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键．