Question

【题目】（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，G，试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；

（2）在图2中，共有______个“X型”；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；

（4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4）α+β．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有6个；

（3）先根据“X型”中的角的规律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根据角平分线的定义，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，将①+②，可得2∠E=∠D+∠B，进而求出∠E的度数；

（4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠AEC=α+β．

（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，

∴∠A+∠B=∠C+∠D；

故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①线段AD、CB相交于点O，形成“X型”；

②线段AG、CF相交于点O，形成“X型”；

③线段AD、CE相交于点G，形成“X型”；

④线段AD、CF相交于点O，形成“X型”；

⑤线段AE、CB相交于点F，形成“X型”；

⑥线段AG、CB相交于点O，形成“X型”；

故“X型”共有6个；

故答案为：6．

（3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，①

∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，

∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB，

①+②得：

∠BAE+∠B +∠ECD+∠D =∠E+∠ECB +∠EAD+∠E，

即2∠E=∠D+∠B，

又∵∠D=40°，∠B=30°，

∴2∠E=40°+30°=70°，

∴∠AEC=35°；

故答案为：35°；

（4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B．

∵∠D=α，∠B=β，

∴2∠E=α+β．

故答案为：α+β．