Question

已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）求证：PD²=PB•PA．
（3）若PD=4，tan∠CDB=

1

2

，求直径AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；
（3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案．

解答：（1）证明：连接OD，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧BD=弧BC，
∴∠DOP=∠COP，
在△DOP和△COP中，

DO=CO ∠DOP=∠COP OP=OP

，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO=∠PCO=90°，
∵D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠PDO=90°，
∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠PDB，
∵∠BPD=∠BPD，
∴△PDB∽△PAD，
∴

PD

PB

=

PA

PD

，
∴PD²=PA•PB；

（3）解：∵DC⊥AB，
∴∠ADB=∠DMB=90°，
∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，
∴∠A=∠CDB，
∵tan∠CDB=

1

2

，
∴tanA=

1

2

=

BD

AD

，
∵△PDB∽△PAD，
∴

PB

PD

=

PD

PA

=

BD

AD

=

1

2

∵PD=4，
∴PB=2，PA=8，
∴AB=8-2=6．

点评：本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．