Question

【题目】如图，中，，若点从点出发，以每秒1 cm的速度沿折线运动，设运动时间为秒(>0).

(1)若点在上，且满足，求此时的值;

(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值;

(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或5；（3）或3或或6.

【解析】

（1）设PC=x，可知，PA=PB=4-x，根据勾股定理列出关于x的方程，进而，可以求出t的值；

（2）设PD=PC=y，则AP=3-y，在RtADP中，根据勾股定理，列出方程，进而可求出t的值；

（3）分四种情况：当P在AB上且AP=CP时，当P在AB上且AP=AC=3时，当P在AB上且AC=PC时，当P在BC上且AC=PC=3时，分别根据等腰三角形的性质，即可求出t的值.

（1）∵点P在BC上，连接AP，

在RtABC中，AC=,

设PC=x，

∵PA=PB，

∴PA=PB=4-x，

∵在RtAPC中，，

∴，解得：，

∴，

∴AB+BP=5+=，

∴t=÷1=；

（2）过点P作PD⊥AB于点D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，

∴PD=PC，BC=BD=4，

∴AD=5-4=1，

设PD=PC=y，则AP=3-y，

在RtADP中，，

∴，解得：，

∴PC=,

∴t=

当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t=5÷1=5；

综上所述，点P在∠ABC的角平分线上时，t 的值为或5s；

（3）分四种情况：

①如图，当P在AB上且AP=CP时，

∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠B=∠BCP，

∴CP=BP,

∴P是AB的中点，即AP==，

∴t=÷1=；

②如图，当P在AB上且AP=AC=3时，

t=3÷1=3；

③当P在AB上且AC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，则=，

∴在RtACD中，由勾股定理得；AD=，

∴AP=2AD=2×=，

∴t=÷1=

④当P在BC上且AC=PC=3时，BP=4-3=1，

∴t=；

综上所述，当t=或3或或6s时，ACP是等腰三角形.