Question

已知二次函数y=ax²+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，则b的值是（　　）

• A、4或-30
• B、-30
• C、4
• D、6或-20

Answer 1

分析：由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a（x-1）²+15，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．

解答：解：解法一：∵x轴上点的纵坐标是0，
∴由题可设抛物线与x轴的交点为（ 1-t，0），（ 1+t，0），其中t＞0，
∵两个交点的横坐标的平方和等于15-a即：（1-t）²+（1+t）²=15-a，
可得t=

13-a 2

，
由顶点为（1，15），
可设解析式为：y=a（x-1）²+15，
将（1-

13-a 2

，0）代入可得a=-2或a=15（不合题意，舍去）
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13，
∴b=4；
解法二：∵对称轴是x=1，最值是15，
∴设y=ax²+bx+c=a（x-1）²+15，
∴y=ax²-2ax+15+a，
设方程ax²-2ax+15+a=0的两个根是x₁，x₂，
则x₁+x₂=-

-2a

a

=2，x₁•x₂=

15+a

a

，
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，
（x₁）²+（x₂）²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15-a，
∴2²-

2(15+a)

a

=15-a，
a²-13a-30=0，
a₁=15（不合题意，舍去），a₂=-2，
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13；
∴b=4．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．