Question

如图，已知抛物线y=-

4

9

(x-1)2+4，与x轴交于A、B两点，点C为抛物线的顶点．点P在抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为r，当⊙P与x轴和直线BC都相切时，则圆心P的坐标为

(1，

3

2

)或（1，-6）

．

Answer 1

分析：设P点坐标为（1，a），求出B和C点的坐标，进而求出直线BC的解析式，再求出点P到直线BC的距离，根据⊙P与x轴和直线BC都相切，列出等式求出a的值．

解答：解：设P点坐标为（1，a），
∵抛物线的解析式为y=-

4

9

(x-1)2+4，
∴抛物线顶点C的坐标为（1，4），
令y=0，解得B点的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，

k+b=4 4k+b=0

，
解得k=-

4

3

，b=

16

3

，
则直线BC的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

，
点P到直线BC的距离d=

|4+3a-16|

5

，
点P到x轴的距离为|a|，
又知⊙P与x轴和直线BC都相切时，
即

|4+3a-16|

5

=|a|，
解得a=

3

2

或a=-6．
故P点的坐标为(1，

3

2

)或（1，-6）．
故答案为(1，

3

2

)或（1，-6）．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练运用点到直线的距离公式，此题难度不大．