题目内容

函数y=
x-2
+
1
x-3
有意义，则x的取值范围是
 
．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
解答：解：由题意，得
x-2≥0
x-3≠0
 ，
解得x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
点评：本题主要考查自变量的取值范围．用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
练习册系列答案
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在函数y=
2x-5
+
1
x-3
中自变量x的取值范围是
 
．
已知函数f(x)=
x+1
x-1
，则f(
3
)=
 
．
函数y=
5-x
+
1
x-2
中，自变量x的取值范围为
x≤5且x≠2
x≤5且x≠2
．
函数y=
3-x
+
1
x-2
中自变量x的取值范围是（　　）
问题背景：
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x2+
1
2
x（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
提出新问题：
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题：
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+
1
x
)（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的图象：
x … 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 …
y …
17
2
20
3
 5 4 5
20
3
17
2
 …
（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=
1
1
时，函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最
小
小
值（填“大”或“小”），是
4
4
．
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x2+
1
2
x（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=(
x
)2〕

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