Question

如图，在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，则B₁C₁的长为

6

5

； 若B₂C₂所在四边形是△AB₁C₁的内接正方形，B₃C₃所在四边形是△AB₂C₂的内接正方形，依此类推，则B_nC_n的长为

3×(

2

5

)n

．

Answer 1

分析：过点A作AD⊥BC于点D，交B₁C₁于点E，交B₂C₂于点F，由B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，易证得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，可求得高AD的长，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得B₁C₁的长，同理可求得B₂C₂与B₃C₃的长，观察即可得规律：B_nC_n=3×(

2

5

)n

解答：解：过点A作AD⊥BC于点D，交B₁C₁于点E，交B₂C₂于点F，
∵B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×3AD=3，
∴AD=2．
设B₁C₁=x，则AE=2-x，
∵△AB₁C₁∽△ABC，
∴

AE

AD

=

B1C1

BC

，即

2-x

2

=

x

3

，
解得，x=

6

5

．
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴

AF

AE

=

B2C2

B1C1

，
∵AE=2-

6

5

=

4

5

，
∴设B₂C₂=y，则AF=

4

5

-y，
∴y=

12

25

，
即B₂C₂=

12

25

=3×(

2

5

)2，
同理：B₃C₃=3×(

2

5

)3；
∴B_nC_n=3×(

2

5

)n；
故答案是：

6

5

；3×(

2

5

)n．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．