Question

（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=_______；
（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长。
（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM·PN与PA·PB的大小关系，且写出比较过程。你能用一句话归纳你的发现吗？
（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD=，求PC、PD的长。

Answer 1

解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD 根据题意，得CD=8，OD=5 根据垂径定理，得PD=4，根据勾股定理，得OP=3；
（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线 根据（1）的求解方法，得OQ=4，则PQ=1或7；
（3）连接AM、BN ∵∠A=∠N，∠M=∠B， ∴△APM∽△NPB ∴ 即PM·PN=PA·PB。
（4）作直径AB，根据相交弦定理， 得PC·PD=PA·PB=（5-3）（5+3）=16 又CD= 设PC=x，则PD=-x 则有x（-x）=16 解，得x=3或x= 即PC=3或 PD=或3。