Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．
（1）连接AC，△ACD的形状是______；
（2）求证：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

解：（1）如图，连接AC．
∵∠ADC=60°，AD=CD，
∴△ACD是等边三角形；
故答案是：等边三角形；

（2）如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连接AE．
由（1）知，△ACD是等边三角形，
则DC=AC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
在△BCD与△ECA，
∵，
∴△BCD≌△ECA（SAS），
∴AE=BD，
∵∠ABE=90°，
∴在Rt△ABE中，有AB²+BE²=AE²，即AB²+BC²=BD²．
分析：（1）根据全等三角形的判定定理“有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ACD是等边三角形．
（2）如图，以BC为边向形外作等边△BCE，连接AE．构造全等三角形（△BCD≌△ECA），然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论．
点评：本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意此题的辅助线的作法．