Question

如图，抛物线y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0）的顶点为A，另一条抛物线y=ax²+n（a＜0）的顶点为B，与x轴正半轴交于点C，已知点P（1，3）在线段AB上（点P与点A、B不重合）．
（1）求顶点B的坐标；
（2）当点P恰好为AB的中点，且由A、B、C三点构成的三角形为等腰三角形时，求a的值？

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0），
∴y=（x-m）²+2m+1，
∴顶点A的坐标是（m，2m+1），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
∵直线过A、P，把A、P的坐标代入得：，
∵m≠1，
∴k=2，b=1，
∴直线AB的解析式是y=2x+1，
∴B的坐标是（0，1），
答：顶点B的坐标是（0，1）．

（2）解：设C的坐标是（x，0），
当点P恰好是AB的中点时，可得A的坐标是（2，5），
∵B的坐标是（0，1），
∴n=1，
即y=ax²+1，
当△ABC是等腰三角形时，分以下三种情况：
①若AB=AC=2，
∵AC²=（x-2）²+25，不成立舍去，
②若AB=BC=2，
∵BC²=1+x²，
∵x＞0，
∴x=，
∴C的坐标是（，0），
代入y=ax²+1（a＜0）得：a=-，
③若AC=BC，
∵AC²=BC²，
（x-2）²+25=1+x²，
∵x＞0，
∴x=7，
∴C的坐标是（7，0），
代入求出a=-，
综合上述满足条件的a有-、-两个，
答：a的值是-，-．
分析：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、P的坐标代入k和b，即可求出答案；
（2）设C的坐标是（x，0），当点P恰好是AB的中点时求出A的坐标和n，得出y=ax²+1，分三种情况①若AB=AC=2，②若AB=BC=2，③若AC=BC，根据勾股定理求出x，得出C的坐标，代入解析式即可求出a．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．