Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，BD=2cm，求

BD

的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OD，由OB=OD，得出∠ODB=∠OBD，根据BD是△ABC的外角平分线，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，根据DE∥AC，即可推出OD⊥DE，从而证得直线DE与⊙O相切．
（2）由∠A=30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，进而求出∠DOB=60°，根据弧长公式即可求出弧BD的长．

解答：解：（1）直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DBE=∠OBD．
∴∠DBE=∠ODB，
∴BE∥OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵DE∥AC，
∴∠DEB=90°，
∴OD⊥DE且点D在⊙O上．
∴直线DE与⊙O相切．
（2）∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBO=∠DBE=60°，
∵BE∥OD，
∴∠DOB=60°，
∵BD=2cm，
∴OB=OD=2，
∴

BD

=

2

3

π．

点评：本题主要考查对切线的性质，三角形的外角性质，三角形的角平分线，平行线的判定，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．