Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x²-4x+3与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中点A在点B的左侧．
（1）求△ABC的面积；
（2）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²-4x+3与x轴交于两点A、B，求得A、B两点的坐标，抛物线与y轴交于点C，求出C点坐标，再求△ABC的面积；
（2）利用配方法求出点D的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，进一步求出与对称轴的交点E，对称轴与x轴的交点；数形结合，解得△AEF和△EFB均为等腰直角三角形，再证得△AFP∽△AEC，求得P点坐标，利用对称求得另一点P．

解答：解：如图
（1）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
令x=0，则c=3
∴C（0，3）
∴△ABC的面积为：

1

2

(3-1)×3=3；

（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1
∴D（2，-1）
设BC的解析式为y=kx+b，（k≠0）
∴

3k+b=0 b=3.

.解，得

k=-1 b=3.

∴直线BC的解析式为y=-x+3，
对称轴直线x=2与x轴交于点F，与BC交于点E，
可得F（2，0），E（2，1）
连接AE．
∴AF=FB=FE=1．
∵EF⊥AB，
∴△AEF和△EFB均为等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠FEB=45°
∴∠AEB=90°
∴∠AEC=∠AFP=90°
∵∠APD=∠ACB，
∴△AFP∽△AEC（5分）
.

∴ AF AE = FP EC . ∵AF=EF=1，OC=3 ∴AE= 2 ，CE=2 2 . ∴ 1 2 = PF 2 2 ， ∴PF=2.

∴点P的坐标为（2，2）
同理可得P的坐标为（2，-2）
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、待定系数法、等腰三角形的性质、三角形相似的判定及对称的性质，始终渗透数形结合的思想．