题目内容
善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定
| AP | PB |
分析：两个梯形相似，因而两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等；这个图形中判定相似要同时满足这几个条件．反之，若相似则两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等．
解答：解：问题一：（1）两个梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
（2）不相似．
问题二：（1）不相似；
（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，
∴
=
，即
=
解得：PQ=4．
∵
=
=
=
．
又∵AP+PB=6，
∴AP=2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则
=
，
=
，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=
=
，
∴
=
=
．
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
（2）不相似．
问题二：（1）不相似；
（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，
∴
| AD |
| PQ |
| PQ |
| BC |
| 2 |
| PQ |
| PQ |
| 8 |
解得：PQ=4．
∵
| AP |
| PB |
| AD |
| PQ |
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
又∵AP+PB=6，
∴AP=2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则
| AD |
| PQ |
| PQ |
| BC |
| AP |
| PB |
| AD |
| PQ |
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=
| AD•BC |
| ab |
∴
| AP |
| PB |
| a | ||
|
| ||
| b |
点评：本题考查了多边形相似的性质，对应边的比相等，反之，相似图形的判定方法是对应角相等，对应边的比相等．
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