Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若AB=5，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，有：∠OAE=∠AEO，
∵AE平分∠BAD，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠AEO=∠DAE，
∴OE∥AD，
又∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴OE⊥BC，
∴BC与⊙O相切；

（2）由已知：在Rt△ADB中，∵AB=5，BD==4，
∴AD===3，
设圆的半径为r，则OB=5-r
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BAD，
∴，
即，
解得．
分析：（1）连接OE则有∠OAE=∠AEO，由已知得到OE∥AD，D为BC中点而OE⊥BC，而得到结论．
（2）由已知在Rt△ADB中，AB=5，BD=4，可得AD=3，得到△BOE∽△BAD，对应边成比例列式进行计算即可求解．
点评：本题考查切线的性质和判定的综合运用．以及考查了由三角形的相似得到对应边比相等，题目为结合题目，难度适宜．