Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是中线和角平分线，当∠A=

15或75

°时，△CDE是等腰三角形．

Answer 1

分析：画出符合条件的两种情况，第一种情况：由直角三角形斜边中线定理可以知道△BCD是等腰三角形，△CDE要是等腰三角形只有一种情况，即CE=DE，∠DCE=∠CDE，由外角定理可以知道∠CDE=∠B+∠BCD=2∠BCD，又因为∠CDE=∠DCE，且∠DCE+∠BCD=45°，所以3∠BCD=3∠B=45°，∠B=15°，∠A=90°-∠B=75°，当A在B点位置时，∠A=15°．

解答：解：如图1，

∵CD是直角三角形ACB斜边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
∴∠EDC=∠B+∠BCD=2∠B，
要使△CED是等腰三角形，只能是CE=DE，
即∠ECD=∠EDC=2∠B，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=45°，
即∠ECD+∠DCB=45°，
∴3∠B=45°，
∴∠B=15°，
∴∠A=90°-15°=75°；
如图2，

同法求出∠A=15°，
即当∠A=15°或75°时，△CDE是等腰三角形，
故答案为：15或75．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．