题目内容
两圆半径之比为2：3，小圆外切正六边形与大圆内接正六边形面积之比为（ ）
分析：先画出图形，设⊙I的半径为2x，⊙O的半径为3x，作IH⊥MN于H，连结IM、IN、OA、OB，根据正六边形的性质得到∠MIN=60°，则∠MIH=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=
IH=
x，所以MN=
x，于是可计算出正六边形MNPQKL的面积=8
x2，然后根据等边三角形的面积公式可计算出正六边形ABCDEF的面积=
x2，
再计算它们的比值即可．
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4
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27
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再计算它们的比值即可．
解答：
解：如图，设⊙I的半径为2x，⊙O的半径为3x，
作IH⊥MN于H，连结IM、IN、OA、OB，
∴MH=NH，
∵∠MIN=60°，
∴∠MIH=30°，
∴MH=
IH=
x，
∴MN=
x，
∴正六边形MNPQKL的面积=6•
•
x•2x=8
x2，
∵∠AOB=60°，
∴S△OAB=
•（3x）2=
x2，
∴正六边形ABCDEF的面积=6•
x2=
x2，
∴正六边形MNPQKL的面积：正六边形ABCDEF的面积=8
x2：
x2=16：27．
故选C．
解：如图，设⊙I的半径为2x，⊙O的半径为3x，作IH⊥MN于H，连结IM、IN、OA、OB，
∴MH=NH，
∵∠MIN=60°，
∴∠MIH=30°，
∴MH=
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∴MN=
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∴正六边形MNPQKL的面积=6•
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∵∠AOB=60°，
∴S△OAB=
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∴正六边形ABCDEF的面积=6•
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∴正六边形MNPQKL的面积：正六边形ABCDEF的面积=8
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27
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| 2 |
故选C．
点评：本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．
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