Question

（2013•绍兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），点P为线段CD上一点，且∠APB=45°，则点P的坐标为

（3+

7

，3）或（3-

7

，3）

．

Answer 1

分析：首先作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，过点E作MN⊥AB于M，交CD于N，易得点P在以E为圆心，AE长为半径的圆与CD的交点，即PE=AE，然后利用等腰直角三角形的性质与勾股定理，即可求得点P的坐标．

解答：解：作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，过点E作MN⊥AB于M，交CD于N，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∵∠APB=45°=

1

2

∠AEB，
∴点P在以E为圆心，AE长为半径的圆与CD的交点，
即PE=AE，
∵A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AE=AB•cos45°=

2

2

×4=2

2

，
∴PE=2

2

，EM=AE•sin45°=

2

2

×2

2

=2，
∵C（6，3）、D（0，3），
∴CD∥OB，CD=6，
∴MN⊥CD，
∵OD⊥CD，OD⊥OB，
∴四边形OMND是矩形，
∴DN=OM=OA+AM=1+

1

2

AB=1+2=3，MN=OD=3，
∴EN=MN-EM=3-2=1，
在Rt△PNE中，PN=

PE2-EN2

=

(2 2 )2-1

=

7

，
∴点P的坐标为：（3+

7

，3）或（3-

7

，3）．
故答案为：（3+

7

，3）或（3-

7

，3）．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．