Question

已知点A（2，-2）和点B（-4，n）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点P在y轴上，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）平移抛物线y=ax²（a≠0），记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．点M（2，0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，A′M+MB′最短，求此时抛物线的函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先将A点代入求出a的值，进而得出B点坐标即可；
（2）分别根据①以A为直角顶点，则∠P₁AB=90°，②以B为直角顶点，则∠DBP₂=90°，进而求出P点坐标即可；
（3）首先求出直线BE的解析式进而得出Q点坐标，再求出MQ的长，进而得出平移后解析式．

解答：解：（1）∵点A（2，-2）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
∴a=-

1

2

，
抛物线解析式为：y=-

1

2

x2，
∴当x=-4，则n=-8，
∴B点坐标为：B（-4，-8）；

（2）如图1，记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，
则直线AB：y=x-4，
C（4，0），D（0，-4），
Rt△COD中，
∵CO=DO，
∴∠ODA=45°，
①以A为直角顶点，则∠P₁AB=90°，
Rt△P₁AD中，∠P₁DA=45°，
则

AD

P1D

=cos45°=

2

2

，
∴P1D=

2

AD=4，
又∵D（0，-4），
∴P₁（0，0），
②以B为直角顶点，则∠DBP₂=90°，
Rt△DBP₂中，∠BDP₂=∠ODC=45°，
∴DP2=

2

BD=8，
∴P（0，-12），
∴综上所述：P（0，0）或（0，-12）；

（3）如图2，记点A关于x轴的对称点为：E（2，2），
将B，E代入y=kx+h得：

2k+h=2 -4k+h=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
则直线BE的解析式为：y=

5

3

x-

4

3

令y=0，得x=

4

5

即BE与x轴的交点为：Q(

4

5

，0)，
MQ=|2-

4

5

|=

6

5

，
故抛物线y=-

1

2

x2向右平移

6

5

个单位时A'M+MB'最短，
此时，抛物线的解析式为：y=-

1

2

(x-

6

5

)2．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求二次函数以及一次函数解析式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．