Question

已知抛物线y＝x²＋4x＋m(m为常数)经过点(0，4)．

(1)求m的值；

(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴(设为直线l₂)与平移前的抛物线的对称轴(设为l₁)关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．

①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；

②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l₂相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l₂被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意得：02＋4×0＋＝4，解得＝4　　3分 　　(2)①由(1)得：　∴对称轴为直线：　　4分 　　依题意平移后的抛物线的对称轴为直线：　　5分 　　故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为　　6分 　　∵此函数最小值为－8，∴ 　　即平移后的抛物线所对应的函数关系式为　　7分 　　②存在理由如下：由①知平移后的抛物线的对称轴为直线： 　　当点P在轴上方时，∵⊙P与轴相切，故令＝3， 　　解得＝2±　　9分 　　此时点P1(2＋，3)，P2(2－，3)与直线＝2之距均为， 　　∵＞3，∴⊙P1、⊙P2均与直线：＝2相离． 　　故点P1、P2不合题意，应舍去　　10分 　　当点P在轴下方时，∵⊙P与x轴相切，故令＝－3， 　　解得＝2±　　11分 　　此时点P3(2＋，－3)，P4(2，－3)与直线x＝2之距均为， 　　∵＜3，∴⊙P3、⊙P4均与直线：x＝2相交，故点P3、P4符合题意　　12分 　　此时弦 　　综上，点P的坐标为(2＋，－3)或(2，－3) 　　直线被⊙P所截得的弦AB长为4　　14分 　　(备注：全卷各题若有其他解法，只要正确请参照给分)