Question

如图，直线l₁：y=x与双曲线y=

k

x

相交于点A（a，2），将直线l₁向上平移3个单位得到l₂，直线l₂与双曲线相交于B，C两点（点B在第一象限），交y轴于D点．则tan∠DOB的值为（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  4

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由点A（a，2）在直线y=x上可知a=2，再代入y=

k

x

中求k的值即可；由将l₁向上平移了3个单位得到l₂的解析式为y=x+3，联立l₂与双曲线解析式求交点B坐标，根据B点坐标，利用锐角三角函数定义求解．

解答：解：∵直线l₁：y=x与双曲线y=

k

x

相交于点A（a，2），
∴a=2，
∴A（2，2），
把A（2，2）代入y=

k

x

，
∴2=

k

2

，
解得：k=4，
双曲线的解析式为y=

4

x

；
∵将l₁向上平移了3个单位得到l₂，
∴l₂的解析式为y=x+3，
∴解方程组

y= 4 x y=x+3

，
解得：

x=1 y=4

或

x=-4 y=-1

（舍去），
∴B （1，4），
∴tan∠DOB=

1

4

．
故选B．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换，锐角三角函数定义．关键是根据y=x求点的坐标，根据点的坐标及平移规律，求函数解析式，再根据函数解析式求交点坐标．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．