Question

若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身。
（1）试求+ac值；
（2）若a>1，且m<0，S=|2a-3b|-2|6-m|-|b+|，试求4（2a-S）+2 （2a-S）-（2a-S）的值；
（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知有：a+b=0，bc=1，则ac=-1
所以=-1；
（2）因为a>1，所以b<-1，2a-3b>0，b+<0
因为m的立方等于它本身，且m＜0
所以m=-1，b-m=b+1＜0
所以s=2a-3b+2b-2+b+
        =2a-
所以2a-s=

=
=；
（3）若m≠0，此时m=±1
①若m=1，则|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
当x≤-1时 |x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
当-1＜x≤1时
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
当x>1时
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
故当x为有理数时，存在最大值为2
②若m=-1
同理可得：当x为有理数时，存在最大值为2
综上所述，当m=±1，x为有理数时，|x+m|-|x-m|存在最大值为2。