Question

如图，一个正三角形经过变换依次成为正六边形、正十二边形、正二十四边形、…．当这些正多边形的周长都相等时，正六边形的面积

 

正十二边形的面积（填不等的符号）．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，分别求出正三角形与这个正六边形的面积即可作出比较．

解答：解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为

3a

4

，正六边形的边长为

a

2

；
∵正三角形的边长为a，
∴其高为

3 a

2

，
∴S₁=

1

2

a×

3 a

2

=

3 a2

4

；
S₂=（

3a

4

）²=

9a2

16

；
∵正六边形的边长为

a

2

，
∴把正六边形分成六个三角形，其高为

3 a

4

，
∴S₃=6×

1

2

×

a

2

×

3 a

4

=

3 3 a2

8

．
∵S₁=

3 a2

4

=

4 3 a2

16

，S₃=

3 3 a2

8

=

6 3 a2

16

，

4 3 a2

16

＜

9a2

16

＜

6 3 a2

16

，
∴S₁＜S₂＜S₃．
故答案为：＜

点评：此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．