Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：
①AG=CE　　　　 ②DG=DE
③BG-AC=CE　　　④S_△BDG-S_△CDE=S_△ABC
其中总是成立的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②③④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

B
分析：连DA，由△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，得到∠GAD=∠ECD=135°，由∠EDF=90°，根据同角的余角相等得到∠1=∠2，所以△DAG≌△DCE，AG=EC，DG=DE，由此可分别判断．
解答：连DA，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠GAD=∠ECD=135°，
又∵△DEF是一个含30°角的直角三角形，
∴∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
∴△DAG≌△DCE，
∴AG=EC，DG=DE，所以①②正确；
∵AB=AC，
∴BG-AC=BG-AB=AG=EC，所以③正确；
∵S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB=S_△ABC．所以④正确．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半．