Question

如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平移直线y=-x，平移后的直线分别交x轴、y轴于点A、点B
（1）当直线AB与反比例函数（x＞0）图象只有一个公共点P时，求点P的坐标；
（2）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°至AC，在x轴上是否存在点Q，使∠BQC=45°？如果存在，请求点Q的坐标．
（3）平移直线AB，平移后与反比例函数（x＞0）图象相交于点M、N，当MN=时，求直线MN的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将直线y=-x+b与联立方程组，消元得，进而利用根的判别式得出b的值，即可得出P点坐标；
（2）利用圆周角定理得出∠BQ₁C=∠BQ₂C=∠BAC=45°，进而得出A，B两点坐标，得出OQ₁=2-2，OQ₂=2+2，即可得出点Q的坐标；
（3）将直线y=-x+b与联立方程组，消元得，变形得x²-bx+1=0，则x₁+x₂=b，x₁x₂=1，在构造以MN为斜边的等腰直角△NEM，进而求出NE的长度，再利用（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²，求出b的值即可．
解答：解：（1）设直线AB为y=-x+b
将直线y=-x+b与联立方程组，消元得，
变形得x²-bx+1=0，依题意有：（-b）²-4×1×1=0
取正值为b=2，
当b=2时，x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1，
故点P（1，1）；

（2）如图1，存在点Q，使得∠BQC=45°，理由：
以点A为圆心，AB为半径作⊙A，交x轴于点Q₁、Q₂
则∠BQ₁C=∠BQ₂C=∠BAC=45°，
∵由（1）得出b=2，
∴y=-x+2，当y=0时，0=-x+2，
解得：x=2，
当x=0时，y=2，
∴直线y=-x+2与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，2），
∴AQ₁=AQ₂=AB==2，
∴OQ₁=2-2，OQ₂=2+2，
∴Q₁（-2+2，0），Q₂（2+2，0）；

（3）如图2，设直线AB为y=-x+b，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将直线y=-x+b与联立方程组，消元得，
变形得x²-bx+1=0，则x₁+x₂=b，x₁x₂=1，
构造以MN为斜边的等腰直角△NEM，
∵EN=MN，MN=，NE ²+EM ²=MN ²，
∴2NE ²=（4）²，
解得：NE=4，
∴x₁-x₂=4，
∴（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²=16，
∴b²-4×1=16，
解得：b=±2．
b取正值得．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及根与系数的关系和圆周角定理等知识，根据已知正确的作出图形，利用数形结合得出是解题关键．