Question

如图，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过点C的直线与⊙O交于点A，与MN交于点D，过C作CE⊥BD于点E．
（1）CE是⊙O的切线吗？为什么？
（2）求∠BAC的度数；
（3）若∠D=30°，BD=1+

3

，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）CE是圆O的切线，理由为：连接OB，OC，由MN为圆O的切线，得到OB垂直于MN，由∠CBN度数求出∠OBC度数，再由OB=OC，利用等边对等角得到∠OCB=45°，而∠BCE=45°，确定出∠OCE为直角，即可得出CE为圆的切线；
（2）由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OBEC为矩形，确定出∠BOC为直角，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠BAC的度数；
（3）由OB=OC，得到矩形OBEC为正方形，设圆的半径为r，得到CE=r，ED=BD-r，在直角三角形CED中，利用锐角三角函数定义列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．

解答：解：（1）CE是圆O的切线，理由为：
连接OB，OC，
∵MN为圆O的切线，
∴OB⊥MN，
∴∠OBE=90°，
∵∠CBN=45°，
∴∠OBC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠CBN=45°，∠CEB=90°，
∴∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
则CE是圆O的切线；
（2）∵∠OBE=∠BEC=∠OCE=90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴∠BOC=90°，
∵∠BOC与∠BAC都对

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=45°；
（3）∵四边形OBEC为矩形，OB=OC，
∴四边形OBEC为正方形，
∴CE=BE=r，ED=BD-BE=1+

3

-r，
在Rt△CED中，得到tanD=

CE

DE

，即tan30°=

r

1+ 3 -r

=

3

3

，
解得：r=1．

点评：此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．