Question

（2013•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p₁，p₂，…，p₂₀₁₃，过p_i（i=1，2，…，2013）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AD于F_i，则P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为

2013

．

Answer 1

分析：连接AP₁，根据菱形性质得出AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=1，AC⊥BD，得出代表性三角形ABD，推出AD=AB=BD，根据三角形面积公式求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，求出即可．

解答：解：连接P₁A，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=

1

2

×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S △ABP1+S △ADP1，
∴

1

2

×BD×AO=

1

2

AB×P₁E₁+

1

2

×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为2013×1=2013，
故答案为：2013．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1．