Question

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，∠MPN=90°．
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB，PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=______PM；
（2）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值；
（3）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=90°，∠MPN=90°，PM⊥AB，PN⊥BC
∴四边形MPNB是矩形，
∵点P为线段AC的中点，
∴AM=BM=PN，
∵∠A=30°，
∴MP=AM，
∴PN=PM；
故答案为：；

（2）在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F；
∴四边形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∵cos30°=，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵点P为线段AC的中点，
∴=；

（3）如图中都有结论：PN=PM．
在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F；
∴四边形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，
∴=；
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴==；
∵PC=PA，∴=，
即PN=PM．
分析：（1）利用矩形的判定得出四边形MPNB是矩形，进而得出AM=BM=PN，再利用∠A=30°，即可得出PN和PM的数量关系；
（2）过P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先证△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系．
（3）过P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，先证△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用（1）中特殊点的证明思路得出（2）、（3）使得此题的难度有所降低，熟练地应用相似的性质与判定是解决问题的关键．