Question

给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=

1

4

x²的切线；
②直线x=-2与抛物线y=

1

4

x²相切于点（-2，1）；
③若直线y=x+b与抛物线y=

1

4

x²相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y=kx-2与抛物线y=

1

4

x²相切，则实数k=

2

．
其中正确命题的是（　　）

A．①②④

B．①③

C．②③

D．①③④

Answer 1

①∵直线y=0是x轴，抛物线y=

1

4

x²的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=

1

4

x²的切线，故本小题正确；
②∵抛物线y=

1

4

x²的顶点在x轴上，开口向上，直线x=-2与y轴平行，∴直线x=-2与抛物线y=

1

4

x²相交，故本小题错误；
③∵直线y=x+b与抛物线y=

1

4

x²相切，∴

1

4

x²-x-b=0，∴△=（-1）²-4×

1

4

b=1+b=0，解得b=-1．把b=-1代入

1

4

x²-x-b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=

1

4

x²相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；
④∵直线y=kx-2与抛物线y=

1

4

x²相切，∴

1

4

x²=kx-2，即

1

4

x²-kx+2=0，△=k²-2=0，解得k=±

2

，故本小题错误．
故选B．