Question

如图，已知抛物线y=-x²+mx+3与x轴的一个交点A（3，0）。

（1）你一定能分别求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标，试试看；
（2）设抛物线的顶点为D，请在图中画出抛物线的草图，若点E（-2，n）在直线BC上，试判断E点是否在经过D点的反比例函数的图象上，把你的判断过程写出来；
（3）请设法求出tan∠DAC的值。

Answer 1

解：（1）因为A（3，0）在抛物线y=-x2+mx+3上， 则-9+3m+3=0，解得m=2， 所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， 因为B点为抛物线与x轴的交点，求得B（-1，0）， 因为C点为抛物线与y轴的交点，求得C（0，3）； （2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点D（1，4）， 画这个函数的草图， 由B，C点的坐标可求得直线BC的解析式为y=3x+3， ∵点E（-2，n）在y=3x+3上， ∴E（-2，-3）， 可求得过D点的反比例函数的解析式为， 当x=-2时，， ∴点E不在过D点的反比例函数图象上； （3）过D作DF⊥y轴于点F，则△CFD为等腰直角三角形， 且CD=， 连接AC，则△AOC为等腰直角三角形，且AC=3， 因为∠ACD=180°-45°-45°=90°， ∴Rt△ADC中，tan∠DAC=， 另解：∵Rt△CFD∽Rt△COA， ∴， ∵∠ACD=90°， ∴。