Question

如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点．过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E．连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可证AB⊥BE，从而可证BE为⊙O的切线；
（2）由垂径定理知：CM=CD=3，在Rt△BCM中，根据，可将BM的值求出，由=，可知：∠BAC=∠BCD，从而得出△ACM∽△CBM．利用相似三角形的性质可将AM的值求出，从而可得出⊙O的半径．
解答：证明：（1）∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CM=CD=3，=，
∴∠BAC=∠BCD（等弧所对的圆周角相等），
∵=，
∴BM=，
∵△ACM∽△CBM，
∴=
解得：AM=6．
∴AB=AM+BM=．则⊙O的半径==．
点评：本题主要考查学生对圆、三角函数、以及解直角三角形的运算能力，综合考察的知识点较多，解答本题的突破口是利用垂径定理求出CM的长，难度一般．