Question

如图（1），四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点C是的中点，过点C的切线与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AB•DE=CD•BC；
（2）如果四边形ABCD仍是⊙O的内接四边形，点C在劣弧上运动，点E在AD的延长线上运动，切线CE变为割线EFC，请问要使（1）的结论成立还需要具备什么条件？请你在图（2）上画出示意图，标明有关字母，不要求进行证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过构建相似三角形来求证，连接AC证三角形ABC和CDE相似，CE是圆的切线，根据弦切角定理可得出∠DCE=∠CAD，根据C是弧BD的中点，得出∠BAC=∠DAC，那么∠DCE=∠BAC，根据ABCD内接于圆O，那么外角∠CDE=∠B，那么就构成了两三角形相似的条件，得出相似后，即可得出所要求证的比例关系；
（2）要使（1）的条件成立，就必须保证△ABC和△CDE相似，因此就要保证∠DCF=∠BAC，那么需要满足的条件就应该是（也可以写成角相等，线段相等或平行等样式）．
解答：（1）证明：连接AC．
∵C是的中点，
∴，∠BAC=∠DAC
∵CE切⊙O于点C，点C在⊙O上
∴∠DCE=∠DAC=∠BAC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△CBA，
∴，
∴AB•DE=CD•BC；

（2）解：如图，条件为：（或DF=BC或∠DAF=∠BAC
或∠DCF=∠BAC或FC∥BD等）
如图，（图中虚线为可能画的线）．
点评：本题主要考查了圆的内接四边形，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形来来求解是解题的关键．