Question

三角板是我们常用的数学工具．下图是将一个三角板的直角顶点放在另一个等腰直角三角形斜边BC的中点D处转动，DE与AB交于点M，DF与AC交于点N（点M、N不与△ABC顶点重合），连接AD．
（1）图中与∠ADM一定相等的是哪一个角？为什么？
（2）图中与△AMD一定全等的是哪一个三角形？为什么？
（3）当CN=1，DN=

2

，求线段AN的长．

Answer 1

分析：（1）根据∠ADC=∠MDN=90°，都减去∠AON即可求出答案；
（2）求出∠DAM=∠C=45°，求出AD=DC，根据ASA证两三角形全等即可；
（3）过N作NH⊥BC于H，求出NH=CH=

2

2

，由勾股定理求出DH，证△CHN∽△CDA推出

CH

CD

=

CN

AC

，代入求出即可．

解答：解：（1）图中与∠ADM一定相等的角是∠CDN，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠MDN，
∴∠MDN-∠ADN=∠ADC-∠ADN，
即∠ADM=∠CDN．

（2）图中与△AMD一定全等的三角形是△CND，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，AD=DC=BD=

1

2

BC，
∴∠DAM=∠C，
在△AMD和△CND中

∠DAM=∠C AD=DC ∠ADM=∠CDN

，
∴△AMD≌△CND（ASA）．

（3）
过N作NH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴AD∥NH，∠NHC=∠NHD=90°，
∵∠C=45°，CN=1，
∴sin45°=

NH

CN，

，cos45°=

CH

CN

，
∴NH=CH=

2

2

，
在Rt△DNH中，由勾股定理得：DH=

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

2

，
∵NH∥AD，
∴△CHN∽△CDA，
∴

CH

CD

=

CN

AC

，
∴

2 2

2 2 + 6 2

=

1

1+AN

，
AN=

3

．

点评：本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目比较好，但有一定的难度．