Question

【题目】（模型介绍）

古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，

（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．

（归纳总结）

在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．

（模型应用）

（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．

解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．

（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_________．

（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）

【解析】

（1）根据对称性即可求解；

（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是的最小值；

（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；

（4）分析知：当与垂直时，值最小，再根据特殊角计算长度即可；

解：（1）根据对称性知：，

故答案为：，，；

（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED

∴ED是的最小值

又∵正方形的边长为4，E是AB中点

∴

∴的最小值是；

（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：

∵

∴

∴

（4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到

∴

当与垂直时，值最小

∵

∴四边形是矩形，

∴

∴