在平面直角坐标系XOY中.直线l1过点A(1.0)且与y轴平行.直线l2过点B(0.2)且与x轴平行.直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点.反比例函数的图象过点E与直线l1相交于点F.(1)若点E与点P重合.求k的值,(2)连接OE.OF.EF.若k＞2.且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍.求E点的坐标,(3)是否存在点E及y轴上的点M.使得以点M.E.F为顶点的三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P，点E为直线l₂上一点，反比例函数

（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F。
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P， ∴点P（1，2），若点E与点P重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形， ∵PE⊥PF， ∴， ∴S_△PEF=， ∴四边形PFGE是矩形， ∴S_△PEF=S_△GFE， ∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GFE-S_△OCE=， ∵S_△OEF=2S_△PEF， ∴，解得k=6或k=2， ∵k=2时，E、F重合，舍去， ∴k=6， ∴E点坐标为：（3，2）。
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， ∵△FHM∽△MBE， ∴， ∵FH=1，EM=PE=1-，FM=PF=2-k， ∴， ∴，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²， ∴ 解得k=，此时E点坐标为（，2）。 ②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，， ∵FQ=1，EM=PF=k-2， FM=PE=-1， ∴ ，BM=2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²， ∴，解得k=或0，但k=0不符合题意， ∴k=，此时E点坐标为（，2）， ∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）。