Question

【题目】已知如图，在数轴上点A，B所对应的数是-4，4．

对于关于x的代数式N，我们规定：当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间(包括点A，B)的任意一点时，代数式N取得所有值的最大值小于等于4，最小值大于等于-4，则称代数式N是线段AB的封闭代数式．

例如，对于关于x的代数式|x|，当x=±4时，代数式|x|取得最大值是4；当x=0时，代数式|x|取得最小值是0，所以代数式|x|是线段AB的封闭代数式．

问题：

(1)关于x代数式|x-1|，当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间(包括点A，B)的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是____ ______．

所以代数式|x-1|__________(填是或不是)线段AB的封闭代数式．

(2)以下关x的代数式：

①；②x2+1；③x2+|x|-8；④|x+2|-|x-1|-1．

是线段AB的封闭代数式是__________，并证明(只需要证明是线段AB的封闭代数式的式子，不是的不需证明)．

()关于x的代数式是线段AB的封闭代数式，则有理数a的最大值是__________，最小值是__________．

Answer 1

【答案】（1）5，0，不是；（2）④，理由见解析；（3）a的最大值是2，a的最小值是-14

【解析】

（1）根据绝对值的性质可求最值，再根据封闭代数式的定义即可求解；

（2）根据封闭代数式的定义即可求解；

（3）分两种情况讨论：+3≤4，+3≥-4，依此即可求解．

（1）解：当x=-4时，|x-1|取得最大值为5，

当x=1时，|x-1|取得最小值为0，

∵|x-1|的最大值＞4，

∴|x-1|不是线段AB的封闭代数式．

（2）证明：①∵-4≤x≤4，

∴2≤x≤2，

∴≤x≤，

∵x的最小值为，不满足最小值大于等于-4，

∴x不是线段AB的封闭代数式．

②当x=±4时，

代数式x2+1取得最大值17，不满足最大值小于等于4，

∴x2+1不是线段AB的封闭代数式．

③当x=±4时，

代数式x2+|x|-8取得最大值12，不满足最大值小于等于4，

∴x2+|x|-8不是线段AB的封闭代数式．

④当-4≤x＜-2时，

原式=|x+2|-|x-1|-1=-（x+2）+（x-1）-1=-4，

当-2≤x≤1时，

原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）+（x-1）-1=2x，

∴-4≤2x≤2，

当1≤x≤4时，

原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）-（x-1）-1=2，

综上所述：-4≤|x+2|-|x-1|-1≤2满足最大值小于等于4，最小值大于等于-4，

∴|x+2|-|x-1|-1是线段AB的封闭代数式．

（3）+3≤4，

a≤|x+1|+2，

|x+1|+2在-4和4之间的最小值是2，a要不大于这个最小值才能使所有在-4和4之间的x都成立，

所以a的最大值是2，

+3≥-4，

a≥-7（|x+1|+2），

-7（|x+1|+2）在-4和4之间的最大值是-14，a要不小于这个最大值才能使所有在-4和4之间的x都成立，

所以a的最小值是-14．