Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，△ABC与△AB′C关于直线AC对称，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：AD=CB；
（2）求证：△AOC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD，可得∠BAC=∠DCA，然后由∠B=∠D，AC是公共边，证得△ABC≌△CDA，即可得AD=CB；
（2）由△ABC与△AB′C关于直线AC对称，易得∠B′AC=∠DCA，则可得OA=OC，即：△AOC是等腰三角形．

解答：证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，

∠BAC=∠DCA ∠B=∠D AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD=CB；

（2）∵△ABC与△AB′C关于直线AC对称，
∴△BAC≌△AB′C，
∴∠B′AC=∠BAC，
∴∠B′AC=∠DCA，
∴OA=OC，
即△AOC是等腰三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．