Question

已知，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC＝6．

(1)如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP＝______时，四边形BCDP是矩形；

(2)将点B绕点E逆时针旋转．

①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF＝α°，求证：△ABF是直角三角形；

②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG＝90°，求△DEG的面积．

图1                            图2                            图3

Answer 1

 (1)3；………………1分

(2)

①∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE．

由题意可得，BE＝EF．∴BE＝EF＝AE．………………2分

在△BEF中，∠BEF＝α°，可得∠EBF＝∠BFE＝90°－α°．

在△AEF中，可得∠EAF＝∠AFE＝α°．………………4分

∴∠BFE＋∠AFE ＝90°－α°＋α°＝90°．

∴△ABF是直角三角形；………………5分

②解法一  如图4，将点D绕点E顺时针旋转90°，到达点H，连接EH、BH．

 

图4                            图5                            图6

可证明△DEG≌△HEB．………………7分

求得△HEB的面积为，∴△DEG的面积为．………………9分

解法二  如图5，过点E作边BC的垂线，垂足为点K，过点G作直线EK的垂线，垂足为点H．

可证明△EHG≌△BKE．………………7分

∴EH＝BK＝3．

∴△DEG的面积为．………………9分

解法三  如图6，过点E作边BC的垂线，垂足为点K，过点G作直线DE的垂线，垂足为点M．

可证明△GME≌△BKE．………………7分

∴GM＝BK＝3．

∴△DEG的面积为．………………9分