Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴是且经过、两点，与轴的另一交点为点，连结．

（1）填空：点、点和点的坐标分别为________，________，________；

（2）求证：；

（3）求抛物线解析式；

（4）若点为直线上方的抛物线上的一点，连结，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）时，的面积有最大值是；；

【解析】

（1）先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；
（2）由点的坐标得出OA=4，OB=1，OC=2，证出 ，再由∠AOC=∠COB=90°，即可得出△AOC∽△COB；
（3）设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x-1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（4）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

（1）y=x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-，
∴点B的坐标为1，0）；
故答案是：（-4，0），（1，0），（0，2）．

（2）∵，，，

∴，，，

∴，，

∴，

又∵，

∴；

（3）∵抛物线过，，

∴可设抛物线解析式为，

又∵抛物线过点，

∴

∴，

∴．

（4）设．

过点作轴交于点，

∴，

∴

，

∵，

，

∴当时，的面积有最大值是，

此时．