Question

如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB．
（1）说明：AB=AC；
（2）连接AO，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）在△DBC和△ECB中：

∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴∠DCB=∠EBC，
∴AB=AC；

（2）∵∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，
因此AO是线段BC的垂直平分线．
分析：（1）利用边角边可以证明△DBC≌△ECB，得到∠DCB=∠EBC，再根据等角对等边证明AB=AC；
（2）根据∠DBC=∠ECB得到∠OBC=∠OCB，所以OB=OC，由AB=AC，OB=OC，说明AO是线段BC的垂直平分线．
点评：本题考查的是全等三角形的判定和性质，（1）利用边角边证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质得到对应的角相等，再根据等角对等边证明AB=AC．（2）根据AB=AC，OB=OC，说明AO是线段BC的垂直平分线．